Matematika Dasar Transformasi Geometri (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊)

Transformasi geometri adalah suatu proses pemetaan satu-satu (one-one) dari sembarang atau beberapa titik di suatu bidang ke titik lain atau beberapa titik di bidang tersebut. Titik lain di bidang tersebut disebut bayangan atau peta.

Jenis Transformasi

1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi Perkalian

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi (Pergeseran) merupakan transformasi isometri dari setiap titik dengan jarak dan arah yang tetap.
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right)$.
$\left( x',y' \right)=T+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$

2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi (Pencerminan) merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat-sifat bayangan pada suatu cermin.

Beberapa pencerminan yang mungkin dapat dilakukan terhadap sebuah objek, diantaranya adalah:

• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks:
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  1 & 0\\
  0 & -1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  1 & 0\\
  0 & -1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  0\\2k
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -1 & 0\\
  0 & 1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -1 & 0\\
  0 & 1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  2k\\0
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,-y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -1 & 0\\
  0 & -1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2a-x,2b-y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -1 & 0\\
  0 & -1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  2a\\2b
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  0 & 1\\
  1 & 0
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  0 & -1\\
  -1 & 0
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$

3. Rotasi (Perputaran)

Rotasi (Perputaran) sebuah titik atau beberapa titik ditentukan oleh pusat rotasi $P(a,b)$ dan besar sudut rotasi ($\theta$).

• Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
  $x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )$
  $y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  cos\ \theta & - sin\ \theta\\
  sin\ \theta & cos\ \theta
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x \\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
  $x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )+\left (a\ sin\ \theta-b\ cos\ \theta \right )+a$
  $y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )-\left (b\ cos\ \theta+a\ sin\ \theta \right )+b$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  cos\ \theta & - sin\ \theta\\
  sin\ \theta & cos\ \theta
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x-a\\y-b
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  a\\ b
  \end{pmatrix}$

Perlu diingat besar sudut $\theta$ jika diputar berlawanan arah jarum jam bernilai $(+)$ sedangkan besar sudut $\theta$ jika diputar searah arah jarum jam bernilai $(-)$.

4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi (Perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (diperbesar atau diperkecil) suatu bangun yang sebangun.

• Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  k & 0\\
  0 & k
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x \\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
  $x'= k\left (x-a \right )+a$
  $y'= k\left (y-b \right )+b$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  k & 0\\
  0 & k
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x-a\\y-b
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  a\\ b
  \end{pmatrix}$

Catatan tambahan untuk dilatasi

• Jika bangun datar $A$ didilatasi dengan skala $k$ dan pusat $O(0,0)$ menjadi bangun datar $A'$, maka berlaku:
  Luas bangun datar $A$=$m^{2} \times$ luas bangun datar $A$.
• Luas segitiga $ABC$ dimana $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$, $C(x_{3},y_{3})$ adalah $ \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
  1 & x_{1} & y_{1}\\
  1 & x_{2} & y_{2}\\
  1 & x_{3} & y_{3}
  \end{vmatrix}$
• Luas benda hasil transformasi adalah $\left | det\ T \right | \times \text{Luas Benda Asal}$

Komposisi Transformasi

Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

• Bayangan hasil komposisi transformasi Translasi
  $A''=T_{2}+T_{1}+A$
  $\begin{pmatrix}
  x''\\ y''
  \end{pmatrix}=T_{2}+T_{1}+\begin{pmatrix}
  x \\ y
  \end{pmatrix}$
  
• Bayangan hasil komposisi transformasi Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
  $A''=T_{2} \cdot T_{1} \cdot A$
  $\begin{pmatrix}
  x''\\ y''
  \end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
  x \\ y
  \end{pmatrix}$
  

Untuk memantapkan kita menggunakan atau memahami aturan-aturan pada Transformasi Geometri di atas, mari kita coba diskusikan beberapa masalah berikut yang kita pilih dari soal-soal yang sudah diujikan pada Ujian Nasional berbasis kertas atau berbasis komputer atau dari soal-soal seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri atau Sekolah Kedinasan. Mari berdiskusi😉😏

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (👊 Soal Lengkap 👊)

Segitiga $ABC$ dengan koordinat titik sudut $A(2,-1)$, $B(6,-2)$, dan $C(5,2)$ dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$. Bayangan koordinat titik sudut segitiga $ABC$ adalah...
$(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$
$(B)\ A(3,4),\ B(4,0),\ C(0,1)$
$(C)\ A(-4,3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(D)\ A(-4,-3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(E)\ A(-4,-3),\ B(0,4),\ C(1,1)$

Alternatif Pembahasan: show

Bayangan titik $(x,y)$yang di rotasi dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ kita tentukan dengan matriks;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ \theta & -sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$

Bayangan titik $(x,y)$ sudut segitiga yang di rotasi dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$ adalah;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ 180 & -sin\ 180\\
sin\ 180 & cos\ 180
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$

Bayangan titik $A(2,-1)$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2-3\\
-1-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1\\
-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1+3\\
2+1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}$
Dengan cara yang sama bayangan titik $B(6,-2)$ adalah $B'(0,4)$ dan bayangan titik $C(5,2)$ adalah $C'(1,0)$
*Alternatif: dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(a,b)$, sama juga dengan direfleksi dengan pusat $(a,b)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$

2. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (👊 Soal Lengkap 👊)

Persamaan bayangan garis $y=x+1$ ditransformasikan oleh matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $X$ adalah...
$(A)\ x+y-3=0$
$(B)\ x-y-3=0$
$(C)\ 3x+y+3=0$
$(D)\ x+3y+1=0$
$(E)\ 3x+y+1=0$

Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi terhadap sumbu $X$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.

Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
Jika kurang paham perkalian matriks silahkan dicoba Matematika Dasar: Belajar Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x+2y\\
-y
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $y'=-y$ maka $y=-y'$
• $x'=x+2y$ maka $x=x'+2y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = x+1 \\
-y' & = x'+2y'+1 \\
0 & = y'+x'+2y'+1 \\
3y'+x' +1 & = 0
\end{align}$

Persamaan garis adalah $3y'+x'+1=0$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+3y+1=0$

3. Soal OSK Matematika SMP 2018 (👊 Soal Lengkap 👊)

Perhatikan gambar berikut ini:

Persamaan garis hasil transformasi $R[0,180^{\circ}]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
$(A).\ y=2x+4$
$(B).\ y=2x-4$
$(C).\ y=-2x+4$
$(D).\ y=-2x-4$

Alternatif Pembahasan: show

Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
\begin{align} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\frac{y-2}{4-2} & = \frac{x-0}{4-0} \\
\frac{y-2}{2} & = \frac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}

Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R[0,180^{\circ}]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.

Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.

Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ y=2x-4$

4. Soal UN Matematika IPA 2017 (👊 Soal Lengkap 👊)

Persamaan bayangan garis $y=3x+2$ oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ adalah...
$(A)\ y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3}$
$(B)\ y=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3}$
$(C)\ y= \dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3}$
$(D)\ y=-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{2}{3}$
$(E)\ y=\dfrac{3}{7}x+\dfrac{2}{3}$

Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
cos\ 90 & -sin\ 90\\
sin\ 90 & cos\ 90
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.

Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-y\\
x+2y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $x'=-y$ maka $y=-x'$
• $y'=x+2y$ maka $x=y'+2x'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = 3x+2 \\
-x' & = 3(y'+2x')+ 2 \\
-x' & = 3y'+6x'+ 2 \\
-x'-6x'-2 & = 3y' \\
3y' & = -7x' -2 \\
y' & = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}
\end{align}$

Persamaan garis adalah $y' = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊) di atas adalah coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Fungsi Kuadrat sangat diharapkan😊😊

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀


Via : http://www.foldersoal.com

Bagikan Artikel ini